一．概念描述

現代數學：十進制是當今世界各國通用的記數進位制。在計數時，每相鄰兩個單位之間的進率都是十，即逢十進一的法則，稱為十進制。我國古代和古希臘都是采用十進制來計數和記數。現在世界通用的數字是印度---阿拉伯數字，即以0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個數字記數。在計算時逢十進一，即低位上的數大于或等于10而小于20時往高位上加1，低位上的數大于或等于10而小于30時往高位上加2，以此類推。采用十進制計數法的數，稱為十進制數或十進數。在數的使用中涉及不同進位制時，為了區別它們，常用符號“( )10”表示十進數。十進數可以同其他進制的數（如二進數、八進數）互化。

小學數學：小學數學教材對十進制給出了明確定義：每相鄰的兩個計數單位之間的進率都是十，這種計數方法叫作十進制計數法。

二．概念解讀

在歷史上，曾經出現過以2、3、4為原始的數基，但比較多的還是以5、10、20、60為數基，即五進制、十進制、二十進制、六十進制。最多的是以10為數基，即現在世界各國通用的十進制，亦即“滿十進一”的方法。當然在計算機時代，二進制也發揮了巨大的作用。

古巴比倫的記數法雖有位值制的意義，但它采用的是六十進位，計算非常繁瑣。古埃及的數系具有簡單、淳樸的風格，從一到十只有兩個數字符號，從一百到一千萬有四個數字符號，而且這些符號都是象形的，如用一只鳥表示十萬。其他數用這些符號累加起來表示，雖然用十進記數法，但不是位值制。古希臘由于幾何發達，因而輕視計算，記數方法落后，是用全部希臘字母來表示一到一萬的數字，字母不夠用了就用加符號“‘”等方法來補充。古羅馬創建的數系與古埃及數系有許多相似之處，采用的是累積法，如用ccc表示300。古代印度既有用字母表示法，又有累計法，到公元7世紀時方采用十進位值制，這很可能是受到我國的影像。現通用的印度---阿拉伯數字和記數法，大約10世紀才傳到歐洲。

十進位值值，是中國的一大發明。從商代陶文和甲骨文中，可以看到當時已能夠用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬這十三個單字，記十萬以內的任何自然數。其記數法是按照十進制的方法來記數的，并且已經采用了位值制記數法，這在世界數學史上有重大意義。正如著名的英國科學史學家李約瑟博士所指出的那樣：“如果沒有這種十進位制，就不可能出現我們現在這個統一化的世界了。”《孫子算經》中記載“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬千相當”，介紹的就是用算籌記數的方法。即個位用縱式，十位用橫式，以此類推的“縱橫相間”，遇到零時，留個空位。顯然，任何自然數都可以用算籌表示出來，而且這是一種十進位值記數法---既“逢十進一”，又按位置表示不同的數值。它比古巴比倫的六十進位制方便，比古希臘、古羅馬的十進非位值制先進。有學者認為“印度---阿拉伯數字的制造，借鑒于中國古代的十進位值制記數法”。馬克思也稱中國的十進位值制是“最妙的發明之一”。

但我國的算籌記數方法也有一大缺點，就是沒有表示“0”的算籌。若表示沒有時，就用“空位”表示，事實上這在進行籌算時很容易混淆。直到數字“0”發明后，十進位值制的印度---阿拉伯數系才成為當前最完備的記數系統。

三．教學建議

(1)結合生活實例引出進制

十進位值制是數認識教學中的一個核心概念，它本身比較抽象，不利于學生理解、掌握。教學時，教師應結合生活實例，讓學生親身經歷十進制產生的過程，體會十進位值制的本質特征。教師可以通過問題串讓學生了解到生活中不僅有很多的事情和進制有關，而且進制不同。比如，通過提問“半斤八兩”的含義，讓學生了解到古人的1斤是16兩，故“半斤”就等于“八兩”---實質上用的就是十六進制。進而，教師可以再請學生想一想：生活中還有哪些數值和進制有關？學生會根據自己的生活經驗發現：1年等于12月---實質是十二進制；1分等于60秒，1小時等于60分---實質是六十進制；1米等于10分米，1分米等于10厘米---實質是十進制。這些實例的引出，不僅讓學生對數學知識產生一種親切感，而且體會到生活中有很多事離不開進制。

(2)加強直觀操作，加深對十進制的理解

為了幫助學生更好地體會十進位值制的意義，教學時，可以借助實物（如手）、直觀模型（如小棒、方塊、計數器數軸）等來加深理解，特別是要鼓勵學生操作“直觀模型”加以體會。比如對20以內數的認識，學生將正式開始由逐一計數到按群計數，學習“1個十相當于10個一”。這時要鼓勵學生操作小棒，把10根小棒捆在一起當作“1個十”，并將這1捆小棒對應于計數器十位上的1顆珠子，使學生初步體會位值原理。

(3)感受十進制計數法的價值

在古代文明中，世界各國計數的規則大多采用“十進制”，如中國、古羅馬。但十進位計數法離十進位值制還有關鍵的一步“位值制”要走。所謂“位值制”，就是指相同的計數符號由于所處的位置不同可以表示大小不同的數。有了位值制，就可以用有限的數字表示無限的自然數，這是計數歷史上的一個創造，一個奇跡。

自然數的計數法是十進位值制。在小學階段，對于它的學習，教材安排了多個年級。作為教師，首先要了解每個年級的具體要求，即20以內數的認識，要按群計數，認識到10個一是1個十：100以內數的認識，要認識到10個一是1個十，10個十是1個百，相同的數字0在不同數位上表示的數是不同的；萬以內數的認識，要學習新的數位，認識新的計數單位，體會相鄰計數單位間的十進關系，進而將“個綴”擴充到“萬級”、“億級”等，完整學習表示所有自然數的方法。還要了解小數的知識：認識小數的計數方法---計數單位、進率。其次，可以將“數的產生”和“十進制計數法”貫穿在數的發展歷史的大背景中，讓學生自主完成關于數知識體系的建構。同時，使學生在學會計數的過程中，感受十進位值制的偉大之處。

四．推薦閱讀

(1)《小學數學教學策略》（張丹，北京師范大學出版社，2010）

該書從“數與代數”內容的“核心詞”、數的意義的教學策略、數的表示的教學策略三方面進行了較翔實的介紹。

(2)《數學思想概論---數量與數量關系的抽象》（史寧中，東北師范大學出版社，2008）

該書第一講和第二講從數量的本質，十進制記數系統的抽象過程，各種進位記數及其分析，數的性質及其研究歷程對數的表示和數的性質兩方面進行了較翔實的介紹。